Про застосування фрактального формалізму у математичному описі структур

V. I. Bolshakov, V. N. Volchuk, Yu. I. Dubrov

Анотація


Постановка завдання. Практика застосування фрактального формалізму для ідентифікації відповідних структур показала, що при цьому часто спостерігається неадекватність їх сприйняття як фрактальних. Ймовірно, це пов'язано з тим, що розпізнавання будь-якого об'єкта відбувається на базі формування його моделі (якщо розпізнавання проводиться безпосередньо людиною, то модель формується в свідомості). Неадекватність моделі, що розпізнається, спричинює втрату кардинальності. Подібне часто спостерігалося при прагненнях дослідників створювати математичні моделі (ММ) в галузі матеріалознавства, в яких структуру, наприклад металу, що не піддається детермінованому опису, вони намагалися синтезувати ММ, застосовуючи статистичний аналіз. Мета роботи. У зв'язку з цим, ми припускаємо, що якщо на стадії визначення типу ММ буде визначена її розмірність, то її вигляд буде очевидним. Результати та їх обговорення. Несподівано для багатьох дослідників, при спробах отримати ММ такої системи, яка, наприклад, представляла структуру деякого матеріалу, не вдавалося отримати взаємно однозначну відповідність між її ММ і самою структурою. Виявлення причин такої невідповідності привели вчених до визначення факторів, що впливають на цю невідповідність, головними з яких були: в ММ не включені чинники, що значно впливають на функцію; в ММ не відображається нелінійність простору станів об'єкта ідентифікації (ПСОІ). Найімовірніше, саме нелінійність ПСОІ є першопричиною появи фрактальних розмірностей. Висновки. Таким чином, закономірність, представлена у вигляді деякої функції, обов'язково включає метрику ПСОІ. Ще раз відзначимо, що причина неадекватності моделі часто криється не в недоліках моделі, а в природі досліджуваного явища, яке може бути ідентифіковане застосуванням фрактального формалізму. Після вивчення спеціальної літератури в авторів цієї статті склалося враження, що зв'язок фрактальної розмірності з фізичною природою об'єкта незаслужено мало висвітлено в публікаціях, які відображають практичну застосовність цього феномену. Ймовірно, останнє пов'язане з тим, що для кожного матеріалу з відповідними йому фрактальними характеристиками існує одна і тільки одна, тільки йому притаманна фрактальна розмірність.


Ключові слова


математична модель; структура; фрактальна розмірність; лінійний простір; функція

Повний текст:

PDF (Русский)

Посилання


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature / B.B. Mandelbrot. − New-York, San Francisco : Freeman Publ., 1982.− 480 p. – Режим доступа: http://www.amazon.com/Fractal-Geometry-Nature-Benoit-Mandelbrot/dp/0716711869.

Rényi A. Probability Theory / A. Rényi. − Amsterdam. The Netherlands : North-Holland Publ., 1970. − 670 р. – Режим доступа: http://www.abebooks.com/PROBABILITY-THEORY-Renyi-A-North-Holland-Publishing/9932099825/bd.

Hentschel H.G. The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors. Physica D / H.G. Hentschel, I.E. Procaccia. − 1983. − Vol. 8 (3). − Pp. 435-444. − Режим доступа: http://www.sciencedirectр.com/ science/article/pii/016727898390235X.

Свечников А. В. Материалы с кластерной структурой - новые свойства, новые возможности / А. В. Свечников // Сучасне матеріалознавство XXI сторіччя: збірник Національної Академії наук України. - Київ : Наукова думка, 1998. - С. 352−369. − Режим доступа: http://www.nbuv.gov.ua/node/924.

Дубров Ю. Пути идентификации периодических многокритериальных технологий / Ю. Дубров, В. Большаков, В. Волчук. – Саарбюкхен, Германия: Palmarium Academic Publishing, 2015. – 236 p. − Режим доступа: https://www.ljubljuknigi.ru/store/ru/book/ Пути-идентификации-периодических-многокритериальных-технологий/isbn978 -3-659-60262-7.

Большаков Вад. І. Часткова компенсація неповноти формальної аксіоматики при ідентифікації структури металу / Вад. І. Большаков, В. І. Большаков, В. М. Волчук [та ін.] // Вісник Національної Академії наук України. - 2014. - № 12. – С. 45-48. − Режим доступа: http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/73434.

Большаков В. И. Особенности применения мультифрактального формализма в материаловедении / В. И. Большаков, В. Н. Волчук, Ю. И. Дубров // Доповіді Національної Академії наук України. - 2008. - №11. - С. 99-107. − Режим доступа: http://www.dopovidi.nas.gov.ua/200.8-11/

Федер Е. Фракталы: монография / Е. Федер. – Москва : Мир, 1991. - 254 с. − Режим доступа: http://inis.jinr.ru/sl/vol2/Physics/Динамические %20системы%20и%20Хаос/Федер%20Е.,%20Фракталы,%201991.pdf

Фрактальные множества, функции, распределения : монография / [А. Ф. Турбин, Н. В. Працевитый]. - Киев : Наукова думка, 1992. - 208 с. − Режим доступа: http://www.e-catalog.name/x/x/x?LNG=&C21COM=S&I21DBN=VDPU&P21DBN= VDPU&S21FMT=&S21ALL=(%3C.%3EK%3D%D0%91%D0%90%D0%97%D0%98$%3C.%3E)&FT_REQUEST=&FT_PREFIX=&Z21ID=&S21STN=1&S21REF=&S21CNR=20

Schaefer D.W. Structure of Random Porous Materials: Silica Aerogel. / D.W. Schaefer, K. D. Keefer // Phys. Rev. Lett. − 1986. − Vоl. 56. − Рp. 2199−2202. − Режим доступа: http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev ett.56.2199.

Witten Т.А. Diffusion-limited aggregation / Т.А. Witten, L. M. Sander // Phys. Rev. − Ser.B. − 1983. − Vol. 27. − Pp. 5686. − Режим доступа: http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.27.5686.

Calcagni G. Particle-physics constraints on multifractal spacetimes / G. Calcagni, G. Giuseppe Nardelli, D. Rodríguez-Fernández // Phys. Rev. − Ser. D. − 2016. − Vol. 93. − Рр. 25005. − Режим доступа: http://dx.doi.org/ 10.1103/PhysRevD.93.025005.

Большаков В. И. Материаловедческие аспекты применения вейвлетно-мультифрактального подхода для оценки структуры и свойств малоуглеродистой стали / В. И. Большаков, В. Н. Волчук // Металлофизика и новейшие технологии. - 2011. – Т. 33. - № 3. - С. 347–360. − Режим доступа: http://mfint.imp.kiev.ua/ru/toc/v33/i03.html.

Большаков В. И. Об оценке применимости языка фрактальной геометрии для описания качественных трансформаций материалов / В. И. Большаков, Ю. И. Дубров // Доповіді Національної Академії наук України. - № 4. - 2002. - С. 116-121. − Режим доступа: http://www.dopovidi.nas.gov.ua/.

REFERENCES

Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. New-York, San Francisco: Freeman Publ., 1982, 480 p.

Rényi A. Probability Theory. Amsterdam. The Netherlands: North-Holland Publ., 1970, 670 р.

Hentschel H.G. and Procaccia I.E.The infinite number of generalized dimensions of fractals and strange attractors. Physica D. 1983, vol. 8 (3), pp. 435-444.

Svechnikov A.V. Materialy s klasternoy strukturoy - novyye svoystva, novyye vozmozhnosti [Materials with cluster structure - new features, new opportunities]. Modern materials XXI century: a collection of National Academy of Sciences of Ukraine, department of Physics and Engineering. Kyiv : Naukova Dumka, 1998, рp. 352−369. (in Russian).

Dubrov Yu., Bolshakov V. and Volchuk V. Puti identifikatsii periodicheskikh mnogokriterial'nykh tekhnologiy [Road periodic identification of multi-criteria Technology]. Saarbrücken, Deutschland: Palmarium Academic Publishing, 2015, 236 p. (in Russian).

Bolshakov Vad.I., Bolshakov V.I., Volchuk V.N. [and oth]. Chastkova kompensatsiya nepovnoty formalʹnoyi aksiomatyky pry identyfikatsiyi struktury metalu [The partial compensation of incompleteness of formal axiomatics in the identification of the metal structure]. Vіsnik Nacіonal'noї Akademії nauk Ukraїni [Bulletin of the National Academy of Sciences of Ukraine]. 2014, no. 12, pp. 45-48. (in Ukrainian).

Bolshakov V.I., Volchuk V.N. and Dubrov Yu.I. Osobennosti primeneniya mul'tifraktal'nogo formalizma v materialovedenii [Features of the multifractal formalism in materials]. Dopovіdі Nacіonal'noї Akademії nauk Ukraїni [Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine]. 2008, no.11, pp. 99−107. (in Russian).

Feder E. Fraktaly [Fractals]. Moscow : Mir, 1991, 254 p. (in Russian).

Turbin A.F. and Pratsevity N.V. Fraktal'nyye mnozhestva, funktsii, raspredeleniya [Fractal sets, functions, distribution]. Kyiv : Naukova Dumka, 1992, 208 р. (in Ukrainian).

Schaefer D.W. and Keefer K.D. Structure of Random Porous Materials: Silica Aerogel. Phys. Rev. Lett., 1986, vоl. 56, pp. 2199−2202.

Witten Т.А. and Sander L.M. Diffusion-limited aggregation. Phys. Rev. Ser. B. 1983, vol. 27, pp. 5686.

Calcagni G., Giuseppe Nardelli G. and Rodríguez-Fernández D. Particle-physics constraints on multifractal spacetimes. Phys. Rev. D. 2016, vol. 93, pр. 25005.

Bolshakov V.I. and Volchuk V.N. Materialovedcheskiye aspekty primeneniya veyvletno-mul'tifraktal'nogo podkhoda dlya otsenki struktury i svoystv malouglerodistoy stali [Materialovedchesky aspects of wavelet-multifractal approach for assessing the structure and properties of low-carbon steel]. Metallofizika i novejshie tehnologii [Metal Physics and Advanced Technologies]. 2011, vol. 33, no. 3, pp. 347−360. (in Russian).

Bolshakov V.I. and Dubrov Yu.I. Ob otsenke primenimosti yazyka fraktal'noy geometrii dlya opisaniya kachestvennykh transformatsiy materialov [An estimate of the applicability of the language of fractal geometry to describe Ria-quality transformation of materials]. Dopovіdі Nacіonal'noї Akademії nauk Ukraїni [Reports National Academy of Sciences of Ukraine]. No. 4, 2002, pp. 116-121. (in Russian).


Пристатейна бібліографія ГОСТ